算法定义

算法：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

输入输出

算法具有零个或多个输入。

算法至少有一个或多个输出。

有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

确定性

确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。

可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

算法设计的要求

正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性，能正确反映问题的需求，能够得到问题的正确答案。

可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。

健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

时间效率高和存储量低

设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。

算法效率的度量方法

事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。

函数的渐近增长

函数的渐近增长：给定两个函数f（n）和g（n），如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f（n）总是比g（n）大，那么，我们说f（n）的增长渐近快于g（n）。

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。

算法时间复杂度

算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T（n）=O（f（n））。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f（n）的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f（n）是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

推导大O阶方法

推导大O阶：

• 1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 3.如果最高阶项存在且其系数不是1，则去除与这个项相乘的系数。得到的结果就是大O阶。

常数阶

f（n）=3

O（1）

线性阶

O（n）

分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

对数阶

O（logn）

平方阶

O（n^2）

理解大O阶推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。

常见的时间复杂度

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)O(n!)<O(n^n)

最坏情况与平均情况

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间不会再坏了。

而平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是七位的运行时间。

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有情况说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S（n）=O（f（n）），其中，n为问题的规模，f（n）为语句关于n所占存储空间的函数。